[數學基礎]排列組合

問題分類

袋中有10個球，每個球都標了號碼，從1號標到10號，現在從袋子中抽出3個球，抽出後不得在放回袋子中。

排列問題: 把球上的數字，按照抽出的順序記下，也就是(1 2 3)以及(3 2 1)代表不同樣的事件

組合問題: 把球上的數字記下，但毋須理會球被抽出的先後順序，也就是(1 2 3)以及(3 2 1)代表同樣一件事

組合(Combination):

定義:如果有n個不同物體，取出m個(先後順序不同，但內容一樣，則視為相同)

組合方式: 記做 ⁿC_m(因為html打不出正確的格式，先以此方式表示，否則正確的格是應該是n和m會在C的右側，一上一下)

公式: (n*(n-1)*(n-2)*......(n-m+1))/(m*(m-1)*....2*1)，可以記做(n!) / (m!(n-m)!)

這個公式的意義在哪邊? 是怎麼推導過來的?

這要從排列定義的著手。

排列(Permutation)

定義:如果有n個不同物體，取出m個(先後順序不同視為不同)

排列方式: 記做 ⁿP_m(因為html打不出正確的格式，先以此方式表示，否則正確的格是應該是n和m會在P的右側，一上一下)

公式: n*(n-1)*(n-2)*......(n-m+1)，這個意義在於，第一抽有n個可能，第二抽有n-1個可能，第m抽有(n-m+1)種可能。可以記做 n! / (n-m)!

從排列到組合(Permutation to Combination)

從定義來看，排列為從n個中挑出m個後的可能結果後，再乘這m個前後順序不同的所有可能結果，也就是如果10顆球，如果挑出(1 2 3)，則這(1 2 3)的先後次序有3 * 2 * 1 = 6種可能結果

寫成數學表達，則是

ⁿP_m = ⁿC_m * ^mP_m   由這個等式就可以導出 ⁿC_m = (n!) / (m!(n-m)!)

結語:

理解排列組合的概念，有助於之後關於二項式展開以及數學常數e的定義推導，也是微積分和統計的基石之一。